Fourier-reeksen

1. Inleiding

Het ontwikkelen van een gegeven funktie in een machtreeks kent verschillende toepassingen zoals het bepalen van funktiewaarden en het benaderen van bepaalde integralen waarbij geen primitieve funktie van de integrand gekend is.

Zo kunnen de funktiewaarden van de exponentiele funktie \(e^{x}\) berekend worden door middel van de reeksontwikkeling:

\[e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} +... +\frac{x^{n}}{n!} + ... \qquad x \in \mathbb{R}\]

Door toepassing van deze reeksontwikkeling kan dan \(\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\) berekend worden met een zeer goede benadering.

De termen in een machtreeks hebben echter geen periodiek karakter terwijl veel funkties in de basiswetenschappen dit wel hebben. Ontwikkelt men een dergelijke funktie in een machtreeks dan gaat het periodiek karakter van de funktie in de termen van de machtreeks verloren.

Zo is sin x periodiek met periode 2π en geldt:

\[sin x = x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!} - ... \qquad x \in \mathbb{R}\]

Het is dan ook zinvol zich af te vragen of een periodieke funktie kan ontwikkeld worden in een reeks waarvan de termen periodiek zijn. Het zal zelfs mogelijk zijn een niet periodieke funktie in een bepaald interval te schrijven als een reeks waarin de termen periodieke funkties zijn.

Het probleem werd behandeld door JOSEPH FOURIER (1768-1830) en later wiskundig sterker gefundeerd.

Het uitgangspunt is een reeks van de vorm:

\[\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\text{ cos nx} + b_{n}\text{ sin nx})\]

voor alle termen geldt: \(t_{n} (x + 2\pi) = t_{n}(x)\)

2. Algemene begrippen

2.1 Periodieke funkties

Definitie 1:
\[f \text{ is periodiek }\iff \exists _{p}\in \mathbb{R_{0}}\text{ : }V_{x}\text{ : }f(x + p) = f(x)\]

Gevolg: 
Is p een dergelijk getal, dan zijn alle getallen \(n.p\text{ met } n \in \mathbb{Z_{0}}\) ook dergelijke getallen.

Voorbeelden:
\(f(x + 2p) = f(x + p + p) = f(x + p) = f(x)\)
\(f(x - 1p) = f(x - p + p) = f(x)\)

Definitie 2:
Het kleinste strikt positief getal waarvoor de eigenschap geldt noent men \(\textbf{DE periode} \text{ van } f\).

Opmerking:
Soms spreekt men voor de duidelijkheid toch van de kleinste (positieve) periode en noemt men alle gehele veelvouden daarvan ook \(\textbf{EEN periode}\).

Voorbeelden:
sin x en cos x hebben 2π als perode.
sin nx en cos nx hebben \(\frac{2π}{n}\) als perode.
\(1 + \text{2 sin x} + \text{3 cos x} + \text{5 sin 5x} - \text{8 cos 8x}\) heeft 2π als perode.
\(\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{k }(a_{n}\text{ cos nx} + b_{n}\text{ sin x})\) heeft 2π als perode.

Stelling:
De integraal van een periodieke funktie over één periode is onafhankelijk van de ondergrens.

Bewijs:
Is \(f\) een funktie met periode \(p\), dan geldt voor alle getallen \(a \neq 0\):

\[\int_{a}^{a + p}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{p}f(x)dx + \int_{p}^{a + p}f(x)dx\]

Stellen we \(x = t + p\), dan wordt de laatste integraal:

\[\int_{0}^{a}f(t + p)dt = \int_{0}^{a}f(t)dt = \int_{0}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{0}f(x)dx\]

zodat uiteindelijk \(\int_{a}^{a + p}f(x)dx = \int_{0}^{p}f(x)dx\) (onafhankelijk van a)

2.2 Enkele integralen

Stelling: \(\text{Voor n, m}\in \mathbb{N}\) geldt:

(2.2.1) \(\int_{-\pi}^{\pi}\text{sin nx . cos mx dx} =0\)

(2.2.2) \(\int_{-\pi}^{\pi}\text{sin nx . sin mx dx} = \begin{cases} 0 & \text{als } n \ne m \\ \pi & \text{als } n = m > 0 \\0 &\text{ als n = m = 0}\end{cases}\)

(2.2.3) \( \int_{-\pi}^{\pi}\text{cos nx . cos mx dx} = \begin{cases} 0 & \text{als } n \ne m \\ \pi & \text{als } n = m > 0 \\ 2\pi & \text{als } n = m = 0 \end{cases} \)

Note: \(sina . cosb = \frac{1}{2}[sin(a+b) + sin(a-b)] \\ cosa . cosb = \frac{1}{2}[cos(a+b) + cos(a-b)] \\ sina . sinb = \frac{1}{2}[cos(a-b) - cos(a+b)] \\ sin^{2}x = \frac{1}{2}(1 - cos2x) \\ cos^{2}x = \frac{1}{2}(1 + cos2x)\)

Bewijs (2.2.1)

We gebruiken een eigenschap van symmetrische integralen.

• De integraal van een oneven functie over een symmetrisch interval \( \left[ -a, a \right] \) is altijd 0.

Dus moeten we aantonen dat \( f(x)=\sin(nx) \cos(mx) \) een oneven functie is.

Stap1 - Eigenschappen van sinus en cosinus.

• sinus is oneven:  \( \sin (-x) = -\sin (x) \)
• cosinus is even:  \( \cos (-x) = \cos (x) \)

Stap2 - Bereken \( f(-x) \)

Neem: \( f(x)=\sin(nx) \cos (mx) \)

Bereken nu \( f(-x) \) : \( f(-x)=\sin(n(-x)) \cos(m(-x)) \)

Gebruik de eigenschappen:

•  \( \sin (-nx) = -\sin (nx) \)
• \( \cos (-mx) = \cos (mx) \)

Dus:

\[ f(-x)= (-\sin(nx)) \cos(mx) \]

\[ f(-x)=-\sin(nx) \cos(mx) \]

Stap3 - Conclusie

We zien nu: \( f(-x) = -f(x) \)

Dus \( f(x) \) is oneven.

Intuïtieve uitleg:

De grafiek van sin(nx)cos(mx) heeft:

• evenveel positieve oppervlakte
• als negatieve oppervlakte

over het interval [−π,π] die elkaar perfect opheffen. De totale integraal is dus 0.

Bewijs (2.2.2)

🔹 Stap 1 — product-naar-som formule

\[\int_{-\pi}^{\pi} \text{sin nx . sin mx dx} = -\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}[cos(n+m)x – cos(n-m)x]dx\]

🔹Geval 1: \(m \neq n \qquad = -\frac{1}{2}\left[\frac{sin(n+m)x}{n + m} - \frac{sin(n-m)x}{n – m}  \right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \\ \text{ omdat sin }\kappa\pi =0 \text{ voor }\kappa \in \mathbb{Z} \text{ verwijnen beide termen. }\)

🔹Geval 2: \(m = n \gt 0\)

\[\int_{-\pi}^{\pi} \text{sin nx . sin nx dx} = -\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\text{(cos 2nx – 1) dx}\\= -\frac{1}{2}\left[ \frac{\text{sin 2nx}}{2n} - x \right]^{\pi}_{-\pi} = -\frac{1}{2}\left( \frac{\text{sin 2n}\pi}{2n} - \pi - \frac{sin(-2n\pi)}{2n} - \pi\right) = \pi\]

Note: \(\frac{\text{sin 2nx}}{2n} = \frac{sin(-2n\pi)}{2n} = 0 \)

🔹Geval 3: Voor m = n = 0 is de integrand is 0

Bewijs (2.2.3)

Stap 1 — Product-naar-som formule

We gebruiken de identiteit:

\[ \cos a \cos b = \frac{1}{2}\left[ \cos(a+b) + \cos(a-b) \right]\]

Met a = nx en b = mx

\[ \cos (nx) \cos (mx) = \frac{1}{2}\left[ \cos((n+m)x) + \cos((n-m)x) \right] \]

Stap 2 — Integraal herschrijven

\[ \int_{-\Pi}^{\Pi} \cos(nx)\cos(mx) dx = \frac{1}{2}\int_{-\Pi}^{\Pi}\cos((n+m)x)dx+\frac{1}{2}\int_{-\Pi}^{\Pi}\cos((n-m)x)dx \]

Geval 1 — \(n\neq m \)

Dan zijn \(n+m\neq 0 \) en  \(n-m\neq 0 \) 

We gebruiken \( \int_{}^{}\cos(kx) dx = \frac{\sin(kx)}{k} \)

Dus: \( \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos(kx) dx = \left[ \frac{\sin(kx)}{k} \right]_{-\Pi}^{\Pi} \)

Maar voor elke geheel k geldt: \( \sin(k\Pi)=0 \)

Dus beide integralen worden nul:

\[ \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos((n+m)x)dx = 0 \]
\[ \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos((n-m)x)dx = 0 \]

Daarom is \( \int_{-\Pi}^{\Pi} \cos(nx)\cos(mx) dx= 0 \)

Geval 2 — \( n = m \gt 0 \)

Dan wordt \( \cos(nx)cos(nx)= \cos^{2}(nx) \)

Gebruik de identiteit:

\[ \cos^{2}x =\frac{1}{2}(1+cos2x) \]

Dus:

\[ \cos^{2}(nx) =\frac{1}{2}(1+cos2nx) \]

Nu integreren:

\[ \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos^{2}(nx)dx =\frac{1}{2}\int_{-\Pi}^{\Pi}1dx +\frac{1}{2}\int_{-\Pi}^{\Pi}\cos(2nx)dx \]

De tweede integraal is weer nul (cosinus op grenzen)

Dus blijft over:

\[ \frac{1}{2}(2\Pi) = \Pi \]

Geval 3 — \( n = m = 0 \)

Dan wordt \( \cos(0x)\cos(0x)=1 \)

Dus:

\[ \int_{-\Pi}^{\Pi}1dx = \left[ x \right]_{-\Pi}^{\Pi} = \Pi - (-\Pi) = 2\Pi \]

Conclusie

\( \int_{-\pi}^{\pi}\text{cos nx . cos mx dx} = \begin{cases} 0 & \text{als } n \ne m \\ \pi & \text{als } n = m > 0 \\ 2\pi & \text{als } n = m = 0 \end{cases} \)

Intuitieve betekenis:

Dit resultaat zegt dat cosinusgolven met verschillende frequenties elkaar opheffen wanneer je over een volledige periode integreert.

Men zegt dat ze orthogonaal zijn.

Dat is precies de reden waarom een fourierreeks werkt: je kan een funktie opsplitsen in onafhankelijke sinus- en cosinusgolven.

3. Fourier-reeksen voor funkties met periode \( 2\pi \)

3.1  Formele behandeling - berekenen van de koëfficiënten

Veronderstellen we dat de funktie \( f(x) \)  met periode \( 2\pi \) voorgesteld wordt door de reeks
\[ f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx) \tag{3.1.1} \]
dan kunnen de koëfficiënten formeel als volgt bepaald worden:

• Integreren we beide leden van (3.1.1) over 1 periode \( 2\Pi \) en veronderstellen we dat \( \int_{}^{} \) en \( \sum_{}^{} \)  mogen verwisseld worden, dan vinden we:
  \[ \int_{-\Pi}^{\Pi}f(x)dx = \frac{a_{0}}{2}\int_{-\Pi}^{\Pi}dx +\sum_{n=1}^{\infty }\left[ a_{n}\int_{-\Pi}^{\Pi} \cos \text{nx dx} +b_{n}\int_{-\Pi}^{\Pi}\sin \text{nx dx} \right] \]
  \( \int_{-\Pi}^{\Pi}dx = 2\Pi \)
  \( \int_{-\Pi}^{\Pi} \cos \text{nx dx} = 0 \) zie (2.2.3)
  \( \int_{-\Pi}^{\Pi}\sin \text{nx dx} = 0 \) oneven integrand tussen symetrische grenzen.
  waaruit volgt : \[ a_{0}=\frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi}f(x)dx \tag{3.1.2} \]
• Vermenigvuldigen we beide leden van (3.1.1) met \( \cos mx \) en integreren we daarna beide leden over 1 periode \( 2\Pi \) dan vinden we, in de veronderstelling dat \( \int_{}^{} \) en \( \sum_{}^{} \)  mogen verwisseld worden:
  \[ \int_{-\Pi}^{\Pi}f(x)\cos \text{mx dx}=\frac{a_{0}}{2}\int_{-\Pi}^{\Pi}\cos\text{mx dx}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_{n} \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos nx \cos \text{mx dx } + b_{n}\int_{-\Pi}^{\Pi}\sin nx \cos \text{mx dx}\right] \]
  \( \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos\text{mx dx} = 0 \) zie (2.2.3)
  \( \int_{-\Pi}^{\Pi}\cos nx \cos \text{mx dx }
  = \left\{ \begin{array}{cl}
  0 & : \ n \neq  0 \\
  \Pi & : \ n = m \gt 0
  \end{array} \right.\)
  \( \int_{-\Pi}^{\Pi}\sin nx \cos \text{mx dx} = 0 \) zie (2.2.1)
  In het rechterlid blijft dus slechts 1 term over, zodat  we vinden:
  \[ a_{m}=\frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi}f(x)\cos \text{mx dx}\tag{3.1.3} \]
• Vermenigvuldigen we beide leden van (3.1.1) met \( \sin mx \) en integreren we daarna beide leden over 1 periode \( 2\Pi \) dan vinden we in de veronderstelling dat \( \int_{}^{} \) en \( \sum_{}^{} \) mogen verwisseld worden op een analoge manier:
  \[ b_{m}=\frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi}f(x) \sin \text{mx dx} \tag{3.1.4} \]                                              

Definitie: Is \( f(x) \) een funktie met periode \( 2\Pi \) dan noemt men Fourier-reeks geassocieerd met \( f(x) \) de reeks

\[ \frac{a_{0}}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx \right) \tag {3.1.1} \]

waarbij \( \left\{ \begin{array}{cl}
a_{n} = \frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi}f(x)\cos\text{nx dx} & : \ n = 0, 1, 2,3, ... (3.1.5) \\
b_{n} = \frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi}f(x) \sin\text{nx dx}) & : \ n = 1, 2,3, ... (3.1.6)
\end{array} \right. \)

Opmerkingen:

• 1. De konstante term in de reeks (3.1.1) wordt voorgesteld door \( \frac{a_{0}}{2} \) i.p.v. door \(a_{0} \) omdat nu de formule (3.1.2) om \( a_{0} \) te berekenen bevat is in de formule (3.1.3) om \( a_{m} \) te berekenen. De formules (3.1.2) en (3.1.3) samen geven (3.1.5)
• 2. De werkwijze die gevolgd werd is niet streng gefundeerd: we veronderstelde dat een reeks (3.1.1) voor \(f(x) \) wel bestaat en verwisselden verder sommatie teken en integratie om de koëfficiënten te bepalen. Beide veronderstellingen zijn niet vanzelfspreked. Daarom is het nodig voldoende voorwaarden te bepalen opdat de Fourier-reeks geassocieerd met \( f \) wel dergelijk \(f(x) \) zou voorstellen Dit is het moeilijkste gedeelte uit de theorie We beperken ons tot de volgende stelling zonder bewijs.

3.2 Stelling: De voorwaarden van Dirichlet

Als :

•  (i) \(f \)  gedefinieerd is in \( ]-\Pi, \Pi [ \) , eventueel met uitzondering van een eindig aantal punten in dit interval waar dan een linker- en rechterlimiet bestaan.
• (ii) \(f \) periodiek is met periode \( 2\Pi \)
• (iii) het interval \( ]-\Pi, \Pi [ \) kan opgesplitst worden in deelintervallen waarin \(f \) en ook \(f' \) kontinu zijn.

dan konvergeert de Fourierreeks (3.1.1) waarbij de koëfficiënten bepaald worden door (3.1.5) en (3.1.6) naar \(f(x) \) in de kontinuiteitspunten en naar het rekenkundig gemiddelde van linker- en rechterlimiet in de diskontinuiteits punten.

Opmerking:

De voorwaarden (i), (ii) en (iii) zijn voldoende voorwaarden. De meeste funkties in de toepassingen voldoen eraan.

Curve.pdf

\(f \) is niet gedefinieerd in \( x_{1} \) ; in \( x_{1} \) konvergeert de Fourierreeks naar \(\frac{f(x_{1}-0)+f(x_{1}+0)}{2}\)

\(f \) is gedefinieerd in \( x_{2} \) maar diskontinu in \( x_{2} \) ; in \( x_{2} \) konvergeert de Fourierreeks naar \(\frac{f(x_{2}-0)+f(x_{2}+0)}{2}\), dus niet naar \(f(x_{2})\) !

\(f \) is kontinu in \( x_{3} \) maar niet afleidbaar in \( x_{3} \) ; in \( x_{3} \) konvergeert de Fourierreeks naar \(f(x_{3})\) .

3.3 Bijzondere gevallen: fourierreeks van even en oneven funkties

Stelling 1: Is \(f \) even en periodiek met periode \( 2\Pi \), dan heeft haar fourierreeks enkel cosinustermen.

Bewijs: 

\[ b_{n} = \frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi} \underbrace{ \overbrace{f(x)}^\text{even} \text{ } \overbrace{\sin nx}^\text{oneven} }_\text{oneven} \text{ dx} = \text{0             n=1,2,...} \]

(integraal van een oneven funktie tussen symmetrische grenzen).

Stelling 2: Is \(f \) oneven en periodiek met periode \( 2\Pi \), dan heeft haar fourierreeks enkel sinustermen.

Bewijs:

\[ a_{n} = \frac{1}{\Pi}\int_{-\Pi}^{\Pi} \underbrace{ \overbrace{f(x)}^\text{oneven} \text{ } \overbrace{\cos nx}^\text{even} }_\text{oneven} \text{ dx} = \text{0             n=0,1,2,...} \]

(integraal van een oneven funktie tussen symmetrische grenzen).

Oefeningen.

1. Is \(f \) even en periodiek met periode \( 2\Pi \), dan worden de koëfficiënten \( a_{n}\) bepaald door:

   \[ a_{n}=\frac{2}{\Pi}\int_{0}^{\Pi}f(x)\cos\text{ nx dx      n=0,1,2,...} \]

   Bewijs

=========================================================

\[  \]